Школьные сочинения

1)По условию задачи в ответе должно быть число, которое при делении на 3 дает остаток 1, при делении на 4 - 2, на 5 - 3, на 6 - 4. Существует ли такое число? Аргументировать.
Решение:
Прибавим к нашему числу 2. Тогда оно будет без остатка делиться на 3, 4, 5, 6, так как остаток был меньше числа, на которое делим, на 2. Ясно, что если наше число делится на 3,4,5,6, то оно будет равно произведению этих чисел = 360, но ведь мы прибавляли 2, следовательно, искомое число равно = 360-2=358, что данное число подходит легко проверить. Но если мы посмотрим внимательно, то увидим, что 6=2*3, а 4=2*2, следовательно, мы можем найти наше число, умножив только 2, 3,2,5=60; 60-2=58-это наименьшее число, соответствующее нашим требованиям.

2)Можно ли все натуральные числа от 1 до 33 разделить на несколько групп так, чтобы наибольшее число в каждой группе равнялось сумме остальных чисел этой группы?
Ответ: нет, не можем.

Решение:

Чтобы решить задачу нужно сложить все числа от 1 до 33: ((1+33)/2)*33=561-нечетное число. Сумму можно посчитать и так: сложим все числа от 1 до 9, умножим на 3 и прибавим 10*10 и 20*10, к полученному результату прибавляем 30+31+32+33, получаем 561.
По условию задачи мы должны все числа последовательности разбить на группы от 1 до 33-ех так, чтобы сумма всех чисел в группе равнялась наибольшему числу в группе. Следовательно, сумма всех чисел в группе делится на 2. (N=N, значит сумма=2N), очевидно, что если сложить все суммы всех групп, то полученное число делится на 2, следовательно, оно четное. Получили противоречие, значит, на такие группы разделить нельзя.

На некотором острове 15 государств. У каждого из них хотя бы одно соседнее государство дружественное. Докажите, что найдется государство, у которого четное число дружественных соседей. Два государства называются соседними, если у них имеется целый кусок общей границы.

Решение:

По условию задачи мы сразу можем сделать вывод, что минимальное число границ = 8, (по 2-ва, все дружественны и по 3-ри, тоже дружественны по условию). 1 гос-во имеет 2 границы и они дружественны. Мы имеем 1 гос-во (нечетное число), имеющее четное число (2) дружественных границ. Все остальные варианты реализуются из простого путем различных комбинаций. 4-ре типа:

А) Дружественные границы между двумя гос-ами, имеющими нечетное количество дружественных границ.

Б) Дружественные границы между двумя гос-ми, имеющими четное количество дружественных границ.

В) Друж. Границы между гос-м, имеющим четное кол. Дружественных границ, и гос-ом, имеющим нечетное кол. Дружественных границ.

Г) Не дружественные границы между гос-ми.

Из варианта в) видно, что количество государств, имеющих четное число дружественных границ, остается без изменений. Таким образом, хотя бы одно государство, имеющее четное кол. дружественных границ, будет всегда, независимо от комбинаций.

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их
произведения на 307. Найти эти числа.

Решение:

1) Назовем наше число 2n-четное и 2n+1 нечетное, очевидно, что нечетное число может быть и меньше четного, тогда оно равно 2n-1.
А)4n**2+(2n+1)**2=2n*(2n+1)+307
2n**2+n-153=0
Д=1225
N1=-9
N2=34/4
Оба корня не подходят.
Б)(2n-1)**2+4n**2=(2n-1)*2n+307
2n**2-n-153=0
n=9
След-но, наши числа: 17 и 18

Из города "A" в город "B", расстояние между которыми 120 км, выехали
одновременно два велосипедиста.
Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл
в город "B" на 2ч раньше.Опредилите скорости велосипедистов...

Пусть скорость первого велосипедиста равна х км/ч, тогда скорость второго – (х-3)км/ч. Первый велосипедист приехал в город В за 120/х часов, а второй – за 120/(х-3) часов, что на 2 часа больше. Составляем уравнение
120/х=120/(х-3) – 2
х2-3х-180=0
Д=9+720=729
Х=(3+27)/2=15
Скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, а второго – 12 км/ч.

Из пунктов "A" и "B" одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода.
Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в
пункт "B" на 1 час раньше, чем второй в пункт "A" Найдите скорость
пешеходов, если расстояние между пунктами "A" и "B" равно 20 км...

Пусть скорость первого пешехода равна х км/ч, тогда скорость второго – (х-1)км/ч. Первый пешеход пришел в город В за 20/х часов, а второй – за 20/(х-1) часов, что на 1 час больше. Составляем уравнение
20/х=20/(х-1) – 1
х2-х-20=0
Д=1+80=81
Х=(1+9)/2=5
Скорость первого пешехода равна 5 км/ч, а второго – 4 км/ч.

Два мотоциклиста выезжают одновременно из двух пунктов навстречу друг другу. Один из них спускается равноускоренно с горы, имея начальную скорость 36км/ч и ускорение 2 метра в секунду в квадрате. Другой равнозамедленно поднимается в гору с начальной скоростью 72км/ч и с тем же по модулю ускорением. Первоначальное расстояние между ними 300м. Через сколько времени они встретятся?

Начальная скорость первого мотоциклиста равна 36000/3600=10 м/с, а второго – 72000/3600=20 м/с.
Они встретятся через t секунд. При этом первый за время t пройдет расстояние s1, а второй – s2.
s1= v0t+at2/2
s1= 10t+t2
s2= v0t-at2/2
s2= 300-s1= 20t-t2
300-10t-t2= 20t-t2
t=10 сек.

Чтобы выполнить задание в срок, токарь должен был изготавливать по 24 детали в день. Однако он ежедневно перевыполнял норму на 15 деталей и уже за 6 дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь?

Пусть х – срок, за который токарь должен выполнить план. Тогда всего он должен был сделать 24х деталей. Ежедневно он выполнял 24+15=39 деталей. И за (х-6) дней токарь выполнил (х-6)*39 деталей, что на 21 деталь больше плана, т.е. 24х+21.
Решим уравнение
(х-6)*39=24х+21
х=17
Т.о. токарь должен был выполнить план за 17 дней. А выполнил он его за 17-6=11, изготовив 24*17+21=408 деталей.

Водонапорный бак заполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может его наполнить на 2 ч скорее ,чем вторая. За какое время каждая труба, работая отдельно, заполнит этот бак?

Пусть весь объем работы, принятый за 1, выполняется одной трубой за х1 минут, а вторым – за х2 минут. Тогда производительность труда при их совместном выполнении этой работы равна
Wс= 1/х1+1/х2.
Трубы вместе заполнят бак за время Х=1/Wc=х1х2/(х1+х2), что по условию задачи равно 2ч 55 мин. или 175 мин.
По условию задачи х2=х1+120.
Тогда
х1(х1+120) = 175
2х1+120
Отсюда х1= 300 мин = 5 ч
х2= 300+120= 420 мин = 7 ч

Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал движение с ускорением 0,1 м/cВТОРАЯ СТЕПЕНЬ ,человек пошел в том же направлении со скоростью 1,5 м/с.Через какое время поезд догонит человека?

б)
x(t)=V0t-(at**2)/2
Отсюда
V0=4
a=0.1
0=v0-at
t=V0/a=40
x=80

2)
Sчел=Vt (a=0)
Sп=(at**2)/2 (V0=0)
Sп=Sчел
0.1t**2-3t=0
T=0, t=30
Если мы рассмотрим график S,t, то будет очевидно, что корень t=0-это время, когда поезд и человек начали свое движение.
Ответ t=30